Una pareja de hecho con un piso comprado a medias y con un hijo en comun.

Depende...
La verdad amiga, es que depende del país en el que residas. En general, el piso corresponde al que firmó el contrato de compra, independientemente de que en ese momento fueran pareja o no. Siempre y cuando no se firmara ninguna constancia de convivencia.
La custodia del hijo es un asunto independiente. De menores de 5 años generalmente se otorga a la madre. La manutención depende del sueldo del padre.