Yo no me meteria de por medio, al fin y al cabo es un tema entre tu madre y tu abuela, si sabes el motivo, algo puedes decir, y dejar caer.
No obstante no te lo aconsejo, a veces se sale malparada de esas situaciones y es peor el remedio que la enfermedad.
Tu sigue como hasta ahora, hablando con las dos.
En cuanto a dar la razón, primero tendrias que averiguar el origen del conflicto entre ambas, pero ten siempre en cuenta, a quien des la razon, la otra persona se sentirá herida, y puede que te encuentres con que se enfade contigo, y te llegue a negar la palabra (en casos extremos).
Aunque sean familia, piensa si fueran dos amigas, a quien darias la razón? Lo mas razonable es escuchar la versión de cada una (al fin y al cabo cada una tiene "su propia verdad" y la realidad puede distar un poco de la verdad de ambas, aunque habra un nexo en comun entre las verdades de ambas, logicamente.
Pero 3 son multitud, siempre, en una pareja, un conflicto, etc. y la tercera persona (en este caso tú, es la que peor lo pasa, porque ve lo que ocurre y duele, pero la inmensa mayoria de veces, es mejor no entrar de por medio.
En el caso que veas que alguna de las dos (despues de haberte contado ambas su versión de lo ocurrido), es una persona que puede ceder y perdonar, dirigete a esa persona, y le argumentas el porque deberian volver a hablarse (pero nunca le menciones cosas que te ha dicho la otra persona, porque eso echara por la borda todo tu esfuerzo.
Y deja que con tiempo (no se decirte cuanto), pueden ser dias, o igual años, ambas pueden llegar a perdonarse y volver a hablar.
Espero que te haya servido mi consejo.
Un saludo.