Demanda de paternidad¿?

Hola,
quería preguntaros si sabeis, si al poner una demanda de paternidad, hay algún mínimo que tenga que pagar el padre.
Actualmente estoy en paro (la empresa en la que trabajaba me despidió), lo que voy a cobrar de paro no cubre ni la cuota mensual de la hipoteca.
Cuanto tarda en cursarse la demanda de paternidad? Puede el padre de mi hijo pedir la custodia por tener yo unos ingresos tan bajos?
Él está cursando el permiso de residencia (creo que ya lo tiene), en ese caso, le pueden dar la custodia, o no tiene nada que ver?


Gracias, besos!